Question

已知一条直线l过定点M（2，1），且与x，y轴的正半轴分别相交于A，B（O是直角坐标系的原点）．
（1）当三角形△ABO的面积为

9

2

时，求直线l的方程；
（2）当三角形△ABO的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：由题意设出直线l的方程，代入点的坐标，把截距用斜率表示，再由与x，y轴的正半轴分别相交求得斜率的范围，代入三角形的面积公式化简．
（1）由面积等于

9

2

求出直线的斜率，则直线方程可求；
（2）把面积函数变形，利用基本不等式求最值，并求得面积取最小值时的斜率，则直线方程可求．

解答： 解：设直线方程y=ax+b，
根据M（2，1）在直线上，1=2a+b，则b=1-2a，
∴y=ax+1-2a，
与x轴、y轴的正半轴相交，
取x=0，得y=1-2a＞0，a＜

1

2

；
取y=0，得x=

2a-1

a

＞0，a＞0时，a＞

1

2

；a＜0时，a＜

1

2

，
综上：a＜0．
S△AOB=

1

2

(1-2a)•

2a-1

a

=-

1

2

(2a-1)2

a

=-

1

2

4a2-4a+1

a

=-

1

2

(4a+

1

a

-4)=-2a+

1

-2a

+2．
（1）当三角形△ABO的面积为

9

2

时，由-2a+

1

-2a

+2=

9

2

，解得：a=-1或a=-

1

4

．
∴直线l的方程为：y=-x+3或y=-

1

4

x+

3

2

；
（2）S△AOB=-2a+

1

-2a

+2≥4．
当且仅当-2a=

1

-2a

，即a=-

2

2

时取等号．
∴三角形OAB面积的最小值为4，直线方程就是y=-

2

2

x+1+

2

．

点评：本题考查了直线的斜截式方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．