题目内容
已知a，b均为正数，且直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值是 ．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系
专题：直线与圆
分析：由两直线垂直的条件得到3a+2b=ab，即
+
=1，然后代入2a+3b=（2a+3b）•（
+
），再利用基本不等式求最值．
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
解答：
解：∵a，b均为正数，且直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则
2b-a（b-3）=0，即3a+2b=ab，
∴
+
=1．
则2a+3b=（2a+3b）•（
+
）=4+9+
+
≥13+2
=25．
当且仅当
=
，即a=b时上式等号成立．
故答案为：25．
2b-a（b-3）=0，即3a+2b=ab，
∴
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
则2a+3b=（2a+3b）•（
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 6b |
| a |
| 6a |
| b |
|
当且仅当
| 6b |
| a |
| 6a |
| b |
故答案为：25．
点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
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