Question

若椭圆

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，且一个焦点恰好是抛物线y²=8x的焦点，则该椭圆的离心率为

 

①，标准方程为

 

②

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，即有c=2，由椭圆的上顶点与两个焦点构成等边三角形，求得b=

3

c=2

3

，再由a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式，即可得到离心率和椭圆方程．

解答： 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
则椭圆的c=2，即有m-n=4，
则椭圆的上顶点与两个焦点构成等边三角形，
即有b=

3

2

×2c=

3

c=2

3

，
即n=b²=12，m=16．
则离心率为e=

c

a

=

2

4

=

1

2

，
椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
故答案为：

1

2

，

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．