Question

已知函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值-9．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数的极小值，求出a，b的值，进而可求f（x）的单调递减区间；
（2）求出g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1的表达式，利用二次函数的图象和性质，建立条件关系即可得到结论围；
（3）利用参数分离法，将不等式转化为求参数的最值问题．

解答： 解：（1）由f'（x）=3ax²-2x+b，因为函数在x=3时有极小值-9，
所以

27a-6+b=0 27a-9+3b=-9

，从而解得a=

1

3

，b=-3，
所求的f(x)=

1

3

x3-x2-3x，所以f'（x）=x²-2x-3，
由f'（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），
（2）由f'（x）=x²-2x-3，故g（x）=2mx²+（2m-8）x+1，
当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；
若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；
若x＜0，g（x）=2mx²+（2m-8）x+1，
①如果对称轴x₀=

4-m

2m

≥0，即0＜m≤4时，g（x）的开口向上，
故在（-∞，x₀]上单调递减，又g（0）=1，所以当x＜0时，g（x）＞0 
②如果对称轴x₀=

4-m

2m

＜0，即4＜m时，△=（2m-8）²-8m＜0
解得2＜m＜8，故4＜m＜8时，g（x）＞0；
所以m的取值范围为（0，8）；
（3）因为f′（x）=x²-2x-3，
所以f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4等价于x²+4x+1＞k（xlnx-1），即x+

k+1

x

+4-klnx＞0，
记φ(x)=x+

k+1

x

+4-klnx，则φ/(x)=1-

k+1

x2

-

k

x

=

(x+1)(x-k-1)

x2

，
由φ′（x）＞0，得x＞k+1，
所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，
所以φ（x）≥φ（k+1）=k+6-kln（k+1），
φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6-kln（k+1）＞0，即1+

6

k

-ln(k+1)＞0，
记m(x)=1+

6

x

-ln(x+1)，则m/(x)=-

6

x2

-

1

x+1

＜0，
所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又m(6)=2-ln7＞0，m(7)=

13

7

-ln8＜0，
所以k的最大值为6．

点评：本题主要考查函数的单调性，极值和导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．