Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，记数列{c_n}的前n项和T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得b_n，利用c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂项求和”即可得出：数列{c_n}的前n项和T_n=1-

1

n+1

．由于对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，可得

n

n+1

≤k(n+4)，化为k≥

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
∴an=2n．
（2）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，
∴

n

n+1

≤k(n+4)，化为k≥

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

．
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，当且仅当n=2时取等号．
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，
∴k≥

1

9

．
∴实数k的取值范围是[

1

9

，+∞)．

点评：本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．