Question

设函数f（x）=x²+ax-2lnx，常数a∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设-3＜a＜3，记f（x）的极小值为f_min（x），若不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）写出函数f（x）的定义域，求出f'（x），通过解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；
（2）不等式b-2ln2＜f（x）_min＜b+4-2ln2恒成立，只要求出f（x）的最小值，从而求出实数b的取值范围；

解答： 解：（1）f′（x）=

2x2+ax-2

x

（x＞0，a∈R），
注意到-a-

a2+16

＜0＜-a+

a2+16

      
则f（x）在（0，

-a+ a2+16

4

）单调递减，（

-a+ a2+16

4

，+∞）单调递增
（2）设极小值点为x=t，则f′（t）=0
∴2t²+at-2=0
∴a=

2-2t2

t

，
根据|a|＜3
∴

|2-2t2|

|t|

＜3
∴（2t²-2）²-（3t）²＜0（t＞0）
∴t∈（

1

2

，2）
此时f_极小（x）=f（t）=t²+at-2lnt=t²+t?

2-2t2

t

-2lnt=2-t²-2lnt，t∈（

1

2

，2）
设g（t）=2-t²-2lnt，t∈（

1

2

，2）
∴g′（t）=-

2(t2+1)

t

＜0
∴g（t）在（

1

2

，2）单调递减
∴g（2）＜g（t）＜g（

1

2

）
∴g（t）∈（-2-2ln2，

7

4

+2ln2）
∴-2-2ln2＜f_极小（x）＜

7

4

+2ln2
故“b-2ln2≤-2-2ln2”且“

7

4

+2ln2≤b+4+2ln2”
∴b∈[-

9

4

，-2]

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求较高．