Question

1．已知椭圆E的中心为原点O，焦点在x轴上，E上的点与E的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线4x+5y+12=0交椭圆于E于M，N两点．设P为线段MN的中点，若直线OP的斜率等于$\frac{4}{5}$，则椭圆E的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 由当点位于短轴的端点时，三角形的面积最大，及bc=12，①由直线的斜率公式，将M和N代入椭圆方程，即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，②，a²=b²-c²，③，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则当M为于椭圆的上下顶点时，则焦点三角形面积最大，
则S=$\frac{1}{2}$×2c×b=12，即bc=12，①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{4}{5}$，由直线OP的斜率k=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}}$=$\frac{4}{5}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{P}}{{y}_{P}}$，
-$\frac{4}{5}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{5}{4}$，整理得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，②
a²=b²-c²，③，
由①②③解得：a=5，b=4，c=3，
故答案为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．