Question

11．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：$\sqrt{2}ρsin（θ\right.$$+\frac{π}{4}）=t$=t经过点$P（{4\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，曲线C：ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点Q为曲线C上任意一点，且点Q到直线l的距离表示为d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将点P的坐标代入直线l的极坐标方程，得t=8，整理可得直线l的直角坐标方程；由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）设Q（2cosθ，sinθ），则点Q到直线l的距离d=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函数的单调性值域即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）将点P的坐标代入直线l的极坐标方程，得t=8，整理可得直线l的直角坐标方程为x+y-8=0；
由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，即x²+y²+3y²=4，C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设Q（2cosθ，sinθ），则点Q到直线l的距离$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-8}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，
当sin（θ+φ）=1时，${d_{min}}=\frac{{8-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．