Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，观察如图程序框图，当k=2时，有S=8，当k=3时，有S=15．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，抽去数列{b_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…，余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,程序框图

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由框图a_i+1=a_i+d，可知{a_n}为等差数列．由M=a_i+a_i+1，k=2，3时即可得出．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．由于

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，可得b₁=2，数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．可得数列{c_n}的奇数项组成首项为4，公比为8的等比数列；偶数项组成首项为8，公比为8的等比数列．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由框图a_i+1=a_i+d，可知{a_n}为等差数列．
由M=a_i+a_i+1，
当k=2时，有S=a₁+2a₂+a₃=8，①
当k=3时，有S=a₁+2a₂+2a₃+a₄=15．②
得a₁=1，d=1，a_n=n．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．
∵

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，
∴b₁=2，数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
依题意，数列{c_n}的奇数项组成首项为4，公比为8的等比数列；偶数项组成首项为8，公比为8的等比数列．
∴当n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

10

7

•2

3n+1

2

-

12

7

；
当n=2k（k∈N^*）时．
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12

7

•2^3k-

12

7

=

12

7

•2

3n

2

-

12

7

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、程序框图的性质、分组讨论求和，考查了推理能力与计算能力，属于难题．