Question

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=1．
（1）求C的参数方程；
（2）若点A在圆C上，点B（3，0），当点A在圆C上运动时，求AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,轨迹方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（1）可以先通过圆的极坐标方程求出圆的平面直角坐标方程，再通过三角代换将圆的普通方程化成参数方程；（2）利用参数方程设出点A的坐标，根据中点坐标公式得到A、P的坐标关系，消去参数，得到AB的中点P的轨迹方程，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=1，
∴圆的普通方程为：x²+y²=1，
∴圆的参数方程为：

x=cosθ y=sinθ

，(θ为参数)．
（2）∵点A在圆C上，
∴设A（cosθ，sinθ），设AB的中点P（x，y），
∵点B（3，0），
∴

x= cosθ+3 2 y= sinθ 2

，
∴cosθ=2x-3，
sinθ=2y，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．
∴AB的中点P的轨迹方程为：(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．

点评：本题考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的关系、参数方程与普通方程的关系、参数法求轨迹方程，本题难度不大，属于基础题．