Question

8．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
（2）经过点（2，0），$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题意离心率及c求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，设a=2k，c=$\sqrt{3}k$（k＞0），得b=k，在分（2，0）为长轴或短轴的一个端点求解．

解答 （1）解：由$c=6，e=\frac{2}{3}$得，$\frac{6}{a}=\frac{2}{3}$，解得，a=9，
∵a²=b²+c²，∴b²=a²-c²=81-36=45，
∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{45}=1$；
（2）解：由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，设a=2k，c=$\sqrt{3}k$（k＞0），
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{（2k）^{2}-（\sqrt{3}k）^{2}}=k$，
由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，
若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，
此时2k=2，∴k=1，得b=1，
则椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，
则椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．