Question

17．在△ABC中，若a=2，b+c=7，$cosB=-\frac{1}{4}$．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知运用余弦定理整理可得15b=60，即可解得b的值．
（2）结合范围B∈（0，π），由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由已知条件a=2，c=7-b，$cosB=-\frac{1}{4}$，
运用余弦定理，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4+（7-b）^{2}-{b}^{2}}{4（7-b）}$=-$\frac{1}{4}$，整理可得：b-7=53-14b，即：15b=60，
解得：b=4．
（2）∵B∈（0，π），
∴$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
而a=2，c=7-b=3，
由△ABC的面积公式${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$，
得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．