Question

13．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）利用已知条件列出方程，求出a，b，即可求出椭圆方程．

解答 （本题满分10分）
解：（1）焦点在y轴上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
可得$\frac{6}{a}$=$\frac{2}{3}$，所以a=9，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{45}$．
所求椭圆方程为：$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{45}=1$．…（5分）
（2）解：由题意知，a=5，c=3，
所以b²=a²-c²=25-9=16，…（6分）
若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，…（8分）
若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{16}=1$．…（10分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．