Question

16．已知数列{a_n}的前n项和，${S_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若对?n∈N^*，t≤4T_n恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；
（2）利用裂项相消法求和，然后根据t≤4T_n恒成立来求t的最大值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和，${S_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，
∴a₁=S₁=1，
n≥2时，S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
n=1时，上式成立，
∴a_n=3n-2．
（2）由a_n=3n-2，可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{3n-2}）（{3n+1}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}），{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$=$\frac{1}{3}[{（{1-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}）}]=\frac{n}{3n+1}$．
因为${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{n+1}{{3（{n+1}）+1}}-\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{{（{3n+1}）（{3n+4}）}}＞0$，
所以T_n+1＞T_n，所以数列{T_n}是递增数列．
所以$t≤4{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_1}=\frac{1}{4}?t≤1$，
所以实数t的最大值是1．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．