Question

给出下列命题：
（1）设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线的一条分支；
（2）若等比数列的前n项和S_n=2ⁿ+k，则必有k=-1；
（3）若x＞0，则2^x+2^-x的最小值为2；
（4）双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是一条直线．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1 个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（1）设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线的一条分支或一条射线；
（2）由于等比数列的前n项和S_n=2ⁿ+k，分别令n=1，2，3，可得a₁=2+k，a₂=2，a₃=4，利用

a

2 2

=a₁a₃，解出即可；
（3）利用基本不等式的性质即可判断出；
（4）双曲线的半焦距=

25+9

=

34

，椭圆的半焦距=

35-1

=

34

，即可判断出；
（5）由于定点（3，-1）在定直线x+2y-1=0上，因此平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是一条直线．

解答： 解：（1）设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线的一条分支或一条射线，不正确；
（2）若等比数列的前n项和S_n=2ⁿ+k，分别令n=1，2，3，则a₁=2+k，a₂=2，a₃=4，∴

a

2 2

=a₁a₃，∴2²=4×（2+k），解得k=-1，因此正确；
（3）由2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，当且仅当x=0时取等号，而x＞0，因此最小值不为2，不正确；
（4）双曲线

x2

25

-

y2

9

=1可得半焦距=

25+9

=

34

，椭圆

x2

35

+y²=1可得半焦距=

35-1

=

34

，因此由有相同的焦点(±

34

，0)，正确；
（5）由于定点（3，-1）在定直线x+2y-1=0上，因此平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是一条直线，正确．
其中正确命题的个数是3．
故选：C．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．