Question

3．某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分	低于60分	60分到79分	80分到89分	90分及以上
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意

已知满意度等级为基本满意的有136人．
（I）求表中a的值及不满意的人数；
（II）特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在[40，50）的概率；
（III）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断是否能获奖，并说明理由．（注：满意指数=$\frac{满意程度的平均分}{100}$）

Answer 1

分析 （I）由频率和为1列方程求出a的值，根据比例关系求出不满意的人数；
（II）按分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出所有的基本事件数，计算对应的概率值；
（III）计算师生的满意指数，即可得出结论．

解答 解：（I）由频率和为1，得
（0.002+0.004+0.014+0.020+a+0.025）×10=1，
解得a=0.035，
设不满意的人数为x，则
（0.002+0.004）：（0.014+0.020）=x：136，
解得x=24；
（II）按评分分层抽取6人，应在评分在[40，50）的师生中抽取2人，分别记作A、B，
在评分在[50，60）的师生中抽取4人，分别记为c、d、e、f，
从这6人中选2人的所有基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，
其中恰有1人评分在[40，50）包含的基本事件为
Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8种，
记“2人中恰有1人的评分在[40，50）”为事件A，则P（A）=$\frac{8}{15}$；
（III）师生的满意指数为
$\frac{1}{100}$×（45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25）=0.807；
师生的满意指数不低于0.8，可获评“教学管理先进单位”．

点评 本题考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．