Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2m，1）$\overrightarrow{b}$=（4-n，2），m＞0，n＞0，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据向量的平行求出m+$\frac{n}{4}$=1，再根据基本不等式即可求出

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2m，1）$\overrightarrow{b}$=（4-n，2），m＞0，n＞0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴4m=4-n，
即m+$\frac{n}{4}$=1，
则$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$）（m+$\frac{n}{4}$）=1+2+$\frac{n}{4m}$+$\frac{8m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{4m}•\frac{8m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
则$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和基本不等式的应用，属于基础题