Question

11．若直线l：x+2y=0与圆C：（x-a）²+（y-b）²=10相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：圆C：（x-a）²+（y-b）²=10的圆心（a，b）半径为：$\sqrt{10}$，
∵直线和圆相切，
∴$\frac{|a+2b|}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}$，
∵圆心C在直线l的上方，
∴a+2b＞0，从而a+2b=5$\sqrt{2}$，
∴ab=$\frac{1}{2}$a（2b）≤$\frac{1}{2}×（\frac{a+2b}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$，当且仅当a=2b，即a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$时取等号，
故ab的最大值为$\frac{25}{4}$，
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆相切的应用以及基本不等式的应用，根据相切关系建立a，b的关系是解决本题的关键．