Question

8．如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．
（I）求证：GM∥平面CDE；
（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点N，连接GN，GM，MN．由MN∥BF∥DE，GN∥CD可得平面GMN∥平面CDE，故而GM∥平面CDE；
（II）以G为原点，建立空间坐标系，求出平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{AM}$的坐标，计算$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{AM}$的夹角即可得出结论．

解答 证明：（Ⅰ）取BC的中点N，连接GN，GM，MN．
因为G为菱形对角线的交点，所以G为AC中点，
又N为BC中点，所以GN∥CD，
又因为M，N分别为FC，BC的中点，
所以MN∥FB，又因为DE∥BF，
所以DE∥MN，
又MN∩GN=N，
所以平面GMN∥平面CDE，
又GM?平面GMN，
所以GM∥平面CDE．
（Ⅱ）连接GF，设菱形的边长AB=2，则由∠ABC=120°，得$GB=GD=1，GA=GC=\sqrt{3}$，
又因为AF⊥FC，所以$FG=GA=\sqrt{3}$，
则在直角三角形GBF中，$BF=\sqrt{2}$，所以$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
以G为坐标原点，分别以GA，GD所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系G-xyz，
则$G（0，0，0），A（\sqrt{3}，0，0），E（0，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），F（0，-1，\sqrt{2}）$，$M（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
则$\overrightarrow{GA}=（\sqrt{3}，0，0），\overrightarrow{GE}=（0，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
设$\overrightarrow m=（x，y，z）$为平面ACE的一个法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{GA}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}z=0}\end{array}}\right.$，
令$z=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow m=（0，-1，\sqrt{2}）$，
又$\overrightarrow{AM}=（-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，所以$cos?\overrightarrow{AM}，\overrightarrow m）=\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow m}}{{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow m|}}=\frac{{\frac{1}{2}+1}}{{\sqrt{1+2}\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以直线AM与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．