Question

11．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意有：$f′（{e}^{2}）=\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得f（x）的解析式；由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；
（2）由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=$\frac{m（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
又由题意有：$f′（{e}^{2}）=\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，所以m=2，f（x）=$\frac{2x}{lnx}$．
此时，f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．…（5分）
（2）因为g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+e）x，
由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，
则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可．…（6分）
又g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+e）x，
则g′（x）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，…（7分）
a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（e）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∵a≤e，
∴-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a≤e．…（9分）
a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），
∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，
综上所述，a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．