Question

19．在△ABC中，sin²B=sinAsinC．
（1）若$\frac{1}{tanA}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{tanC}$成等差数列，求cosB的值；
（2）若$\frac{BC}{sinA}$=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB，从而求出cosB的值即可；
（2）求出三角形的面积的解析式，令f（x）=8sin³x，（0＜x＜π），根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可．

解答 解：（1））若$\frac{1}{tanA}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{tanC}$成等差数列，
则$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{{sin}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$，
故sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=±$\frac{1}{2}$；
（2）若$\frac{BC}{sinA}$=4，即$\frac{b}{sinB}$=4，b²=16sin²B，
∵sin²B=sinAsinC，
∴ac=b²，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²sinB=8sin³B，（0＜B＜π），
令f（x）=8sin³x，（0＜x＜π），
则f′（x）=24sin²xcosx，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{π}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{π}{2}$，
故f（x）在（0，π）递增，
故f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递增，在（$\frac{π}{2}$，π）递减，
f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=8，
故三角形面积的最大值是8．

点评 本题考查了正弦定理的应用，考查等差数列以及导数的应用，是一道中档题．