Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+2bx+c（a，b，c∈R）$，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）²+b²的取值范围为（$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的不等式组，问题转化为线性规划问题，求出z=（a+3）²+b²的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$a x²+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即 $\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
（a+3）²+b²表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
如图示：

由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}$，平方为$\frac{1}{2}$为最小值，
（-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值，
故z=（a+3）²+b²的取值范围为（$\frac{1}{2}$，4），
故答案为：（$\frac{1}{2}$，4）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查简单的线性规划问题，是一道中档题．