Question

对于函数f（x），g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“亲密点”．现给出四对函数：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2； ②f（x）=

x

，g（x）=x+2；
③f（x）=e^x，g（x）=x+1；  ④f（x）=lnx，g（x）=x
则在区间（0，+∞）上存在唯一“亲密点”的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考点：函数的值

专题：新定义,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①由f（x）-g（x）≥1，判断两函数在区间（0，+∞）上的存在唯一“亲密点”；
②由g（x）-f（x）＞1，判断两函数不存在“亲密点”；
③设h（x）=f（x）-g（x），x→0时，h（x）→0，判断两函数的“亲密点”不唯一；
④设h（x）=g（x）-f（x），得h（x）的最小值为h（1）=1，判断两函数的“亲密点”唯一．

解答： 解：对于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则只有当x₀=1时，满足条件，
∴在区间（0，+∞）上的存在唯一“亲密点”，∴①满足题意；
对于②，g（x）-f（x）=x-

x

+2=(

x

-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

＞1，
∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，
∴函数不存在“亲密点”，∴②不满足题意；
对于③，设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-1，
∴h′（x）=e^x-1，且x＞0时，h′（x）＞0；
∴函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x→0时，h（x）→0，
∴使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，∴③不满足题意；
对于④，设h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx，（x＞0），
则h′（x）=1-

1

x

，令h′（x）＞0，得x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
即x₀=1时，|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④满足题意．
综上，命题题意的函数序号为①④．
故选：C．

点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了导数的概念与应用问题，是综合性题目．