Question

20．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=-1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．
（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；
（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求得M（-1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y-n=k（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=-1，
∴|MP|为点P到直线x=-1的距离，
连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，
∴|MP|=|PF|，
∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=-1，
∴曲线Г的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：据题意，M（-1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，
则切线方程为：y-n=k（x+1），
联立抛物线方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$   
可得ky²-4y+4k+4n=0，
由直线和抛物线相切，
可得△=16-4k（4k+4n）=0，
即k²+kn-1=0，（*）
∵△=n²+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k₁，k₂，
∵k₁=k_AM，k₂=k_BM，
由方程（*）可知，k_AM•k_BM=k₁•k₂=-1，
∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查直线和抛物线方程联立，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．