Question

f（x）=x²+ax+b有两个零点m，n，证明：若|a|+|b|＜1，则|m|＜1，|n|＜1．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由函数的零点与方程实数根的关系，以及根与系数的关系得出m+n=-a，mn=b；再利用绝对值与不等式证明出结论即可．

解答： 证明：∵f（x）=x²+ax+b有两个零点m，n，
即方程x²+ax+b=0有两个实根m，n；
∴m+n=-a，mn=b；
即|m+n|=|a|，|m||n|=|b|；
又∵|a|+|b|＜1，
∴|m+n|+|m||n|=|a|+|b|＜1；
又∵|m|-|n|≤|m+n|，
∴|m|-|n|+|m||n|＜1，
∴（|m|-1）（|n|+1）＜0，
即|m|＜1，
同理|n|＜1．

点评：本题考查了函数的零点与对应方程实数根的关系以及不等式的证明问题，是综合性题目．