Question

12．已知抛物线y²=4x的准线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相切，且l与该双曲线的渐近线相交于A、B两点，若△ABO（O为原点）为钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{3}$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 先求出A，B坐标，根据△ABO（O为原点）为钝角三角形，∠AOB＞90°，∠AOF＞45°，b＞1，即可求出离心率的范围．

解答 解：抛物线y²=4x的准线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相切，∴a=1，渐近线方程为y=±bx
x=-1，y=±b，∴A（-1，b），B（-1，-b），
∵△ABO（O为原点）为钝角三角形，∴∠AOB＞90°，∴∠AOF＞45°，∴b＞1
∴c²=a²+b²＞2，∴e＞$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是确定b＞1．