Question

1．在△ABC中，A=$\frac{3π}{4}$，AB=6，AC=3$\sqrt{2}$．
（1）求sin（B+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理及其推论，求出BC，cosB，再由同角三角函数基本关系公式，求出sinB，结合两角和的正弦公式，可得答案；
（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．

解答 解：（1）∵在△ABC中，A=$\frac{3π}{4}$，AB=6，AC=3$\sqrt{2}$．
由余弦定理得：BC=$\sqrt{{AB}^{2}+{AC}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$\sqrt{36+18+36}$=3$\sqrt{10}$，
故cosB=$\frac{{AB}^{2}+{BC}^{2}-{AC}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{36+90-18}{2×6×3\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
则sinB=$\sqrt{1-{cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，

∴Rt△ADE中，AD=$\frac{AE}{cos∠DAE}$=$\frac{3}{cosB}$=$\sqrt{10}$

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．