Question

4．将三个半径为3的球两两相切地放在水平桌面上，若在这三个球的上方放置一个半径为1的小球，使得这四个球两两相切，则该小球的球心到桌面的距离为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且底面各棱长均为6，侧棱长均为4，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，求出棱锥的高O₁H，即可求出上面小球球心到桌面的距离．

解答 解：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，
将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，
且底面各棱长均为3+3=6，侧棱长均为1+3=4，
作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高；

连接O₄H，则O₄H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，
∴O₁H=$\sqrt{{{{O}_{1}O}_{4}}^{2}{-{HO}_{4}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
则从上面一个球的球心到桌面的距离为2+3=5，
故选：D．

点评 本题考查了点到平面距离的计算问题，也考查了构造几何模型解答问题的能力，是中档题目．