Question

17．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（1）证明：DC₁⊥BC；
（2）若∠ACB=90°，求点C到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）证明DC₁⊥面BCD，即可证明DC₁⊥BC；
（2）过C作CE⊥BD，则CE⊥面BC₁D，CE为点C到平面BDC₁的距离，利用等面积求点C到平面BDC₁的距离．

解答 （1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC₁⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC₁⊥BC；
（2）解：∵DC₁⊥面BCD，DC₁?面BC₁D
∴面BC₁D⊥面BCD，
过C作CE⊥BD，则CE⊥面BC₁D，CE为点C到平面BDC₁的距离．
△BCD中，BC=1，CD=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$，BC⊥CD，S_△BCD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}h$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．