Question

已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，并使得平面A₁DE⊥平面BCED．
（1）求证：A₁D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA₁与平面A₁BD所成角的正切的最大值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD²+DE²=AE²，判断AD⊥DE折叠后A₁D⊥DE，根据平面A₁DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A₁D⊥平面BCED，进而可知A₁D⊥EC．
（2）作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P，由（1）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，推断出A₁D⊥PH，又A₁D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A₁BD，推断出∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A₁H的表达式，继而在Rt△PA₁H中，表示出tan∠PA₁H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA₁H的最大值．

解答： 证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

．
因为AD²+DE²=AE²，
所以AD⊥DE．
折叠后有A₁D⊥DE，
因为平面A₁DE⊥平面BCED，又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED
故A₁D⊥EC．
（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P，
由（1）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，
所以A₁D⊥PH，又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD，
所以∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，
设PB=x（0≤x≤3），则BH=

x

2

，PH=

3 x

2

，DH=BD-BH=2-

x

2

所以A₁H=

DH2+A1D2

=

x2-2x+5 4

所以在Rt△PA₁H中，tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

①若x=0，则tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

=0，
②若x≠0则tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

=

3

1- 8 x + 20 x2

令

1

x

=t（t≥

1

3

），y=20t²-8t+1
因为函数y=20t²-8t+1在t≥

1

3

上单调递增，所以y_min=20×

1

9

-

8

3

+1=

5

9

所以tan∠PA₁H的最大值为

3

5 9

=

3 15

5

（此时点P与C重合）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质，二面角的求法．解题的关键是找到或作出所求二面角．