Question

已知f（x）=ax³，且f（6）=-216．
（1）求实数a的值；
（2）分解因式f（m）-f（n）；
（3）证明f（x）在R上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把自变量的值代入f（6）中，求出a的值；
（2）按照立方差公式分解f（m）-f（n）即可；
（3）方法一：用导数来判断f（x）的单调性，
方法二，用单调性定义来证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³，且f（6）=-216，
∴a×6³=-216，
∴a=-1；
（2）∵a=-1，∴f（x）=-x³，
∴f（m）-f（n）=-m³-（-n³）
=n³-m³
=（n-m）（n²+nm+m²）；
（3）证明：【方法一】
∵f（x）=-x³，
∴f′（x）=-x²≤0，
∴f（x）在R上是减函数．
【方法二】用单调性定义证明：
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x12+x₁x₂+x22）
=（x₂-x₁）[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查了函数的单调性的判断以及求函数值与利用立方差公式分解因式的问题，是基础题．