Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是$x=-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，（2分）
所以 $-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}$，解得p=1，（4分）
所以 抛物线的方程为y²=2x．（5分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将y=k（x-2）代入y²=2x，
消去y整理得 k²x²-2（2k²+1）x+4k²=0．（7分）
所以 x₁x₂=4．（8分）
由$y_1^2=2{x_1}$，$y_2^2=2{x_2}$，两式相乘，得 $y_1^2y_2^2=4{x_1}{x_2}$，（9分）
注意到y₁，y₂异号，所以 y₁y₂=-4．（10分）
所以直线OM与直线ON的斜率之积为$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-1$，（12分）
即 OM⊥ON．（13分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．