Question

9．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M₀成为曲线C的外确界，最大的内界m₀成为曲线C的内确界．
（1）曲线y²=4x与曲线（x-1）²+y²=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

Answer 1

分析 （1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；
（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x²+y²转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．

解答 解：（1）y²=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，
∴曲线y²=4x不是“有界曲线”；
∵曲线（x-1）²+y²=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：
由图可知曲线（x-1）²+y²=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x-1）²+y²=4是“有界曲线”，
其外确界为3，内确界为1；
（2）由已知得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=a$，
整理得：（x²+y²+1）²-4x²=a²，
∴${y}^{2}=\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-（{x}^{2}+1）$，
∵y²≥0，∴$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≥{x}^{2}+1$，∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，∴1-a≤x²≤a+1，
则${x}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-（{x}^{2}+1）$=$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1$，
∵1-a≤x²≤a+1，
∴（a-2）²≤4x²+a²≤（a+2）²，
即$|a-2|≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤|a+2|$，
当0＜a＜1时，2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，则$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$，
∴$\sqrt{1-a}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，则曲线C的外确界与内确界分别为$\sqrt{a+1}，\sqrt{1-a}$；
当1≤a≤2时，2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，则$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$，
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，则曲线C的外确界与内确界分别为$\sqrt{a+1}$，0；
当2＜a≤3时，a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，则a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1，
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，则曲线C的外确界与内确界分别为$\sqrt{a+1}$，0；
当a＞3时，a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，则a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1，
∴$\sqrt{a-3}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，则曲线C的外确界与内确界分别为$\sqrt{a+1}$，$\sqrt{a-3}$．

点评 本题考查曲线的外确界与内确界的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，理解题意是关键，注意函数与方程思想的合理运用，属难题．