Question

对于函数f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)，解答下列问题：
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在（-∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）的定义域为R，则x²-2ax+3＞0恒成立，即可求实数a的取值范围；
（2）根据函数f（x）在（-∞，1]内为增函数，利用复合函数的性质即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若f（x）的定义域为R，
则x²-2ax+3＞0恒成立，
即△=4a²-4×3＜0，
即a²＜3，
∴-

3

＜a＜

3

，
即实数a的取值范围是-

3

＜a＜

3

；
（2）设t=g（x）=x²-2ax+3，
则y=log 

1

2

t为减函数，
要使函数f（x）在（-∞，1]内为增函数，
则当x≤1时，函数t=x²-2ax+3单调递减且此时t＞0恒成立，
即

- -2a 2 =a≥1 g(1)1+3-2a＞0

，
∴

a≥1 a＜2

，
∴1≤a＜2，
求实数a的取值范围1≤a＜2．

点评：本题主要考查对数函数的性质，利用对数函数的性质和二次函数的性质是解决本题的关键．