Question

2．函数f（a）=cos²θ+acosθ-a（a∈[1，2]，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]）的最小值是$\frac{1-2a}{4}$．

Answer 1

分析 先化简函数的解析式，利用余弦函数的定义域和值域求得cosθ的范围，结合二次函数的性质，求得函数的最小值．

解答 解：∵函数f（a）=cos²θ+acosθ-a=${（cosθ+\frac{a}{2}）}^{2}$-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，a∈[1，2]，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{a}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，cosθ∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，故当cosθ=$\frac{1}{2}$时，f（a）取得最小值为 $\frac{1-2a}{4}$，
故答案为：$\frac{1-2a}{4}$．

点评 本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．