Question

19．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（0，5）．
（1）求b，c的值；
（2）若对任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得方程2x²+bx+c=0的两个根为0和5，由韦达定理，解方程可得b，c的值；
（2）由题意可得对任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t≤2恒成立，即对任意x∈[-1，1]，不等式t≤-2x²+10x+2恒成立，所以t≤（-2x²+10x+2）_min，x∈[-1，1]，由二次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围；
另外：令g（x）=2x²-10x+t-2，x∈[-1，1]，求得g（x）的单调性和最大值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为f（x）=2x²+bx+c，所以不等式f（x）＜0即为2x²+bx+c＜0，
由不等式2x²+bx+c＜0的解集为（0，5），
所以方程2x²+bx+c=0的两个根为0和5，
所以$\left\{\begin{array}{l}0+5=-\frac{b}{2}\\ 0×5=\frac{c}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=-10\\ c=0.\end{array}\right.$；
（2）由（1）知：f（x）=2x²-10x，
所以“对任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t≤2恒成立”，
即：对任意x∈[-1，1]，不等式t≤-2x²+10x+2恒成立，
所以t≤（-2x²+10x+2）_min，x∈[-1，1]，
令g（x）=-2x²+10x+2，x∈[-1，1]，
则$g（x）=-2{（x-\frac{5}{2}）^2}+\frac{29}{2}$，
所以g（x）=-2x²+10x+2在[-1，1]上为增函数，
所以g_min（x）=g（-1）=-10，
所以t≤-10，即t的取值范围为（-∞，-10]．
另解：由（Ⅰ）知：f（x）=2x²-10x，
所以“对任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t-2≤0恒成立”，
令g（x）=2x²-10x+t-2，x∈[-1，1]，则g_max（x）≤0，x∈[-1，1]，
因为g（x）=2x²-10x+t-2在[-1，1]上为减函数，
所以g_max（x）=g（-1）=10+t≤0，
所以t≤-10，即t的取值范围为（-∞，-10]．

点评 本题考查二次不等式和二次方程的关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．