Question

5．已知函数f（x）=alnx-ax（a∈R）．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N^*且n≥2 ）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出 $f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，通过1°a=0，2°a＞0，3°a＜0，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅱ）通过令a=1，f（x）=lnx-x，利用（Ⅰ）知f（x）的单调性，推出lnx-x≤-1，得到$0＜\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，然后证明结果．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$
1°若a=0，则f（x）=0无单调区间；
2°若a＞0，则当x∈（0，1）时 f'（x）＞0
当x∈（1，+∞）时f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，…（4分）
3°若a＜0，则当x∈（0，1）时 f'（x）＜0
当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．…（6分）
（Ⅱ）证明：令a=1，∴f（x）=lnx-x
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）递增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）≤f（1）=-1…（8分）
即lnx-x≤-1，
∴lnx≤x-1，∵$n≥2∴lnn＜n-1∴0＜\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{ln2}{2}•\frac{ln3}{3}•\frac{ln4}{4}…\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}…\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$…（12分）

点评 本题考查导数判断函数的单调性，以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．