Question

14．如图，矩形ADEF和矩形ABCD有公共边AD．
（1）若它们所在平面互相垂直，AB=2，AD=4，AF=3，设∠AEB=α，∠EBD=β，则cosα：cosβ=$\sqrt{5}$：2．
（2）若它们所在的平面成60°的二面角，AB=CB=2a，DE=a，则BE=$\sqrt{7}$a．

Answer 1

分析 （1）应用二面角的定义和线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，即可得到比值；
（2）连接BF，由AB⊥AD，AF⊥AD，可得∠BAF为二面角B-AD-F的平面角，且为60°，应用余弦定理可得BF，再由线面垂直的判定定理和性质定理，结合勾股定理，计算即可得到BE的值．

解答 解：（1）由题意可得，AB⊥AD，AF⊥AD，AB⊥AF，
即有AB⊥平面ADEF，可得AB⊥AE，
在直角三角形ABE中，cosα=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{9+16+4}}$=$\frac{5}{\sqrt{29}}$；
同理在直角三角形DBE中，cosβ=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{4+16}}{\sqrt{29}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{29}}$；
则cosα：cosβ=$\sqrt{5}$：2；
（2）连接BF，由AB⊥AD，AF⊥AD，
可得∠BAF为二面角B-AD-F的平面角，且为60°，
由余弦定理可得BF²=BA²+FA²-2BA•FAcos60°=4a²+a²-2•2a•a•$\frac{1}{2}$
=3a²，
由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABF，即有AD⊥BF，
AD∥EF，则EF⊥BF，
在直角三角形BEF中，BE²=BF²+EF²=3a²+4a²=7a²．
则BE=$\sqrt{7}$a．
故答案为：$\sqrt{5}$：2，$\sqrt{7}$a．

点评 本题考查空间二面角的求法和应用，同时考查线面垂直的判定和性质定理，考查运算能力，属于中档题．