Question

15．设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）

• A． $[{\sqrt{5}，2\sqrt{5}}]$
• B． $[{\sqrt{10}，2\sqrt{5}}]$
• C． $[{\sqrt{10}，4\sqrt{5}}]$
• D． $[{2\sqrt{5}，4\sqrt{5}}]$

Answer 1

分析 可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|²+|PB|²=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．

解答 解：由题意可知，动直线x+my+m=0经过定点A（0，-1），
动直线mx-y-m+2=0即 m（x-1）-y+2=0，经过点定点B（1，2），
∵动直线x+my+m=0和动直线mx-y-m+2=0的斜率之积为-1，始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
设∠ABP=θ，则|PA|=$\sqrt{10}$sinθ，|PB|=$\sqrt{10}$cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴|PA|+|PB|=$\sqrt{10}$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{5}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴2$\sqrt{5}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\sqrt{10}$，2$\sqrt{5}$]，
故选：B

点评 本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．