题目内容
1．已知双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的焦距为$10\sqrt{5}$，点P（1，2）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）| A． | $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{5}=1$ | B． | $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{20}=1$ | C． | $\frac{y^2}{100}-\frac{x^2}{25}=1$ | D． | $\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{100}=1$ |
分析 由题意可得c=5$\sqrt{5}$，即有a2+b2=125，求出双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，可得a=2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．
解答 解：双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的焦距为$10\sqrt{5}$，
可得2c=10$\sqrt{5}$，即c=5$\sqrt{5}$，即有a2+b2=125，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由题意可得a=2b，
解得a=10，b=5，
可得双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{100}$-$\frac{{x}^{2}}{25}$=1．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点是F（-c，0），斜率为2的直线l过点P并与两条渐近线交于A，B两点（A，B位于x轴同侧），且S△BOF=4S△AOF，则双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{109}}{3}$ | B． | $\frac{10}{3}$ | C． | 3 | D． | $\frac{4}{3}$ |
9．已知M（x0，y0）是双曲线C：x2-y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}＜0$，则x0的取值范围是（ ）
| A． | $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$ | B． | $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$ | C． | $（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$ | D． | （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1]∪[1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$） |
13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2=4$\sqrt{5}$x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{5}$ |