Question

9．已知M（x₀，y₀）是双曲线C：x²-y²=1上的一点，F₁，F₂是C上的两个焦点，若$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}＜0$，则x₀的取值范围是（　　）

• A． $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$
• C． $（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$
• D． （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1]∪[1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）

Answer 1

分析 将M代入双曲线的方程，求得两焦点的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到M的横坐标的范围．

解答 解：由题意可得x₀²-y₀²=1，①
F₁，F₂是C上的两个焦点，且为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
由$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}＜0$，
可得（-$\sqrt{2}$-x₀，0-y₀）•（$\sqrt{2}$-x₀，0-y₀）＜0，
即为（-$\sqrt{2}$-x₀）（$\sqrt{2}$-x₀）+（-y₀）²＜0，
即有x₀²+y₀²＜2，②
由①②可得2x₀²＜3，
由x₀≥1或x₀≤-1
解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x₀＜≤-1或1≤x₀＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，向量数量积的坐标表示，以及解不等式的能力，属于中档题．