题目内容
6．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．分析 由$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，可得∠AEB为锐角，即|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
解答 
解若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，即cos∠AEB＞0，则∠AEB为锐角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
令x=-c，则y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|EF|=a+c，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$＜a+c，即c-a＜a
即c＜2a，解之得1＜e＜2．
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评 本题考查双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
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| A． | $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{5}=1$ | B． | $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{20}=1$ | C． | $\frac{y^2}{100}-\frac{x^2}{25}=1$ | D． | $\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{100}=1$ |