题目内容
12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点是F（-c，0），斜率为2的直线l过点P并与两条渐近线交于A，B两点（A，B位于x轴同侧），且S△BOF=4S△AOF，则双曲线的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{109}}{3}$ | B． | $\frac{10}{3}$ | C． | 3 | D． | $\frac{4}{3}$ |
分析 设直线l的方程为y=2（x+c），求得渐近线方程，求得交点A，B，再由同高不同底的三角形的面积之比为底边之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，运用向量共线的坐标表示，结合离心率公式计算即可得到所求值．
解答 解：设直线l的方程为y=2（x+c），
联立双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
解得A（$\frac{2ac}{-b-2a}$，$\frac{-2bc}{-b-2a}$），B（$\frac{2ac}{b-2a}$，$\frac{2bc}{b-2a}$），
由S△BOF=4S△AOF，
结合同高不同底的三角形的面积之比为底边之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，
可得-c-$\frac{2ac}{b-2a}$=4（-c-$\frac{2ac}{-b-2a}$），
化简可得3b=10a，可得b=$\frac{10}{3}$a，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{100}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$，
故选：A．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，主要考查渐近线方程的运用，同时考查三角形的面积之比为底边之比和向量共线的坐标表示，属于中档题．
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17．在以O为中心，F1，F2为焦点的双曲线上存在一点M，满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{MO}$|=2|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{6}$ |
3．已知双曲线E的左，右顶点为A，B，点C在E上，AB=BC，且∠BCA=30°，则E的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
1．已知双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的焦距为$10\sqrt{5}$，点P（1，2）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{5}=1$ | B． | $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{20}=1$ | C． | $\frac{y^2}{100}-\frac{x^2}{25}=1$ | D． | $\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{100}=1$ |