Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-1，则不等式（x-1）[f（x）-f（-x）]≤0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由奇函数和x＞0的表达式，求得x＜0的表达式，将不等式（x-1）[f（x）-f（-x）]≤0化为（x-1）f（x）≤0，分别讨论x=0，x＞0，x＜0，得到不等式组，解出它们，求并集即可得到．

解答： 解：令x＜0，则-x＞0，由于当x＞0时，f（x）=2x-1，
则f（-x）=-2x-1，又f（-x）=-f（x），
则f（x）=2x+1（x＜0），
又不等式（x-1）[f（x）-f（-x）]≤0，
即为（x-1）f（x）≤0，
则x=0或

x＞0 (x-1)(2x-1)≤0

或

x＜0 (x-1)(2x+1)≤0

，
即x=0或

1

2

≤x≤1或-

1

2

≤x＜0，
即有-

1

2

≤x≤0或

1

2

≤x≤1，
则不等式的解集为：[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1]
故答案为：[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性及运用：求解析式和解不等式，考查运算能力，属于中档题．