Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，

AF

•

FB

=1，且斜率为

2

2

的直线m与椭圆交于不同的两点，这两点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：
是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用数量积运算可得

AF

•

FB

=1，可得1=a²-c²．直线m的方程为y=

2

2

x，x=c时 y=

2

2

c
代入椭圆方程可得

c2

a2

+(

2

2

c)2=1，联立解得即可．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k_MF=-1可得 k_PQ=1．设直线l为 y=x+m，与椭圆方程联立可得3x²+4mx+2m²-2=0（*）．把根与系数的关系代入

MP

•

FQ

=0=x1(x2-1)+y2(y1-1)，化简整理即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵

AF

•

FB

=1，即 （a+c）•（a-c）=1=a²-c²，
∴b²=a²-c²=1①
由题意知，直线m的方程为y=

2

2

x，对于y=

2

2

x当x=c时 y=

2

2

c
由已知得，点(c，

2

2

c)在椭圆上，∴

c2

a2

+(

2

2

c)2=1，②
由①②得  c²=1，∴a²=2．
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），∴k_MF=-1．
∵PQ⊥MF，
∴k_PQ=1．
设直线l为 y=x+m，
联立

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0（*）．
∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
∵

MP

•

FQ

=0=x1(x2-1)+y2(y1-1)，
又y_i=x_i+m（i=1，2），得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0，
∴2•

2m2-2

3

-

4m

3

(m-1)+m2-m=0，
化简得3m²+m-4=0解得m=-

4

3

或m=1，
经检验m=1不符合条件，故舍去，m=-

4

3

符合条件．
则直线l的方程为：y=x-

4

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．