Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c
（1）若f（x）在x=-

2

3

和x=1时都取得极值，求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，f（x）在（-2，

1

4

）上有极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x）并令其为0得到方程，把x=-

2

3

和x=1代入求出a、b即可，再求出f′（x），分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）由f（0）=0，f（1）=1，得到c=0，b=-a，再求f（x）的导数，由题意可得

f′(-2)＞0 f′( 1 4 )＜0

，解不等式即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

即

3×(- 2 3 )2- 4a 3 +b=0 3+2a+b=0

，
解得

a=- 1 2 b=-2

，
即有f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-

2

3

或x＞1，
∴f（x）的减区间为（-

2

3

，1）；增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞）；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，则c=0，1+a+b+c=1，则有b=-a，c=0，
则有f（x）=x³+ax²-ax，f′（x）=3x²+2ax-a，
由于f（x）在（-2，

1

4

）上有极大值，
即为

f′(-2)＞0 f′( 1 4 )＜0

即

12-4a-a＞0 3 16 + 1 2 a-a＜0

，
解得，

3

8

＜a＜

12

5

．
则实数a的取值范围为（

3

8

，

12

5

）．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．