Question

某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．
（1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入

1

2

(x2+x)万元作为技改费用，投入

x

4

万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立函数关系即可；
（2）结合基本不等式的性质即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）设商品的销售价格提高a元，则销售量减少10-a万件，
则（10-a）（5+a）≥50，即a²-5a≤0，解得0≤a≤5，
故商品的销售价格最多提高5元．
（2）由题意知，改革后的销售收入为mx万元，若使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，
则只需要满足mx=

1

2

（x²+x）+

x

4

+50，（x＞5）即可，
即m=

1

2

x+

3

4

+

50

x

≥

3

4

+2

1 2 x• 50 x

=10+

3

4

=

43

4

，
当且仅当

1

2

x=

50

x

，即x=10时，取等号，
答：销售量m至少应达到

43

4

万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．