Question

14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）+1（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且f（x）图象的两对称轴间的距离为$\frac{π}{3}$．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函数f（x）的对称轴方程和对称中心；
（3）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、正弦函数的奇偶性、周期性，求得φ和ω的值，可得函数的解析式，从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程和对称中心．
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）+1（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，
∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{2π}{3}$．
由f（x）图象的两对称轴间的距离为$\frac{π}{3}$，可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，求得ω=3，
故f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）+1=2cos3x+1．
∴f（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{2}$+1=1．
（2）令3x=kπ，求得x=$\frac{kπ}{3}$，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{3}$，k∈Z；
令3x=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（3）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，3x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，∴cos3x∈[-1，1]，
∴f（x）=2cos3x+1∈[-1，3]，故函数f（x）的值域为[-1，3]．

点评 本题主要考查正弦函数的奇偶性、周期性，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．