Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF₁|=$\frac{7}{3}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．

Answer 1

分析 （I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（I）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
可得椭圆的c=1，设P为（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
由椭圆的焦半径公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，
由椭圆和抛物线的定义可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），
代入抛物线的方程，可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
由相切的条件可得，△=（2kb-4）²-4k²b²=0，
化简可得kb=1，
由y=kx+$\frac{1}{k}$和椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-12=0，
由64-4（3+4k²）（$\frac{4}{{k}^{2}}$-12）＞0，
可得k＞$\frac{1}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
即有中点坐标为（-$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3}{k（3+4{k}^{2}）}$），
设N（0，n），由$\frac{\frac{3}{k（3+4{k}^{2}）}-n}{-\frac{4}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
可得n=-$\frac{1}{k（3+4{k}^{2}）}$，
由y=kx+$\frac{1}{k}$，设y=0，则x=-$\frac{1}{{k}^{2}}$，
M（-$\frac{1}{{k}^{2}}$，0），可得直线MN的斜率为k_MN=$\frac{-\frac{1}{k（3+4{k}^{2}）}}{\frac{1}{{k}^{2}}}$=-$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$
=-$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$≥-$\frac{1}{2\sqrt{4k•\frac{3}{k}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
当且仅当k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用焦半径公式和定义法，考查直线的斜率的最小值，注意运用直线方程和抛物线方程联立，以及与椭圆方程联立，运用韦达定理和相切的条件，中点坐标公式，基本不等式的运用，属于中档题．