Question

3．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，两边取倒数可得变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$，
化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-1\}$是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$2×（\frac{1}{3}）^{n}$，
解得a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．
故答案为：a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．